← تجربہ

توانائی ریشہ نظریہ (Energy Filament Theory, EFT): اوسط ثقل کا فریم ورک، سرد تاریک مادہ (DM) کے کم از کم NFW خطِ اساس کے مقابل

مصنف: Guanglin Tu
ای میل: riniky@energyfilament.org | ORCID: 0009-0003-7659-6138
ادارہ: EFT ورکنگ گروپ، Shenzhen Energy Filament Science Research Co., Ltd. (چین)
نسخہ: v1.1 | تاریخ: 2026-02-14

پری پرنٹ (ہم مرتبہ نظرِ ثانی سے نہیں گزرا) | یہ نسخہ عوامی اشاعت اور قابلِ تکرار جانچ کے لیے ہے؛ یہ جریدے میں شائع ہونے والے حتمی نسخے کی نمائندگی نہیں کرتا۔

اجازت نامہ: رپورٹ (CC BY-NC-ND 4.0)؛ مکمل بازتولیدی پیکج (CC BY 4.0)۔

اشاعتی سطح کی رپورٹ (Concept DOI): ‎https://doi.org/10.5281/zenodo.18526334
مکمل بازتولیدی پیکج (Concept DOI): ‎https://doi.org/10.5281/zenodo.18526286

0 اجرائی خلاصہ (Executive Summary)

یہ رپورٹ Zenodo میں محفوظ شدہ ایک مکمل، اشاعتی سطح کے آرکائیو نسخے (آرکائیو ایڈیشن) کے طور پر پیش کی گئی ہے۔ اس میں ڈیٹا، ماڈل لیجر، منصفانہ موازنہ، بندش آزمائش اور بازتولیدی مواد تک ایک مسلسل اور قابلِ آڈٹ زنجیر فراہم کی گئی ہے۔ ضمیمہ B (P1A) مضبوطی کی تکمیلی جانچ کے طور پر “زیادہ معیاری DM خطِ اساس + عدسی اثر کی اہم نظامی خرابی” کا دباؤ ٹیسٹ پیش کرتا ہے، تاکہ دیکھا جا سکے کہ متن کی مرکزی نتیجه گیری زیادہ حقیقت پسندانہ DM ماڈلنگ اور lensing systematics کے علاج کے لیے کتنی حساس ہے۔

مرکزی نتائج (چار جملے، براہِ راست حوالہ دیے جا سکتے ہیں؛ تفصیل کے لیے دفعہ 2.4 دیکھیں):

(1) گردشی منحنیات (RC) کی فٹنگ میں EFT خاندان تمام kernel/prior مجموعوں میں DM_RAZOR سے نمایاں طور پر بہتر ہے؛ عام بہتری Δlog𝓛_RC ≈ 10^3 ہے (جدول S1a دیکھیں)۔
(2) RC→GGL بندش آزمائش میں EFT زیادہ مضبوط بین-پروب منتقل پذیری دکھاتا ہے: بندش کی شدت Δlog𝓛_closure (True−Perm) DM_RAZOR سے واضح طور پر زیادہ ہے، اور یہ فرق covariance shrinkage، R_min اور σ_int کی اسکیننگ کے مقابلے میں robust رہتا ہے (شکل S3 اور جدول S1b دیکھیں)۔
(3) متحدہ فٹنگ (RC+GGL) میں EFT مستحکم برتری برقرار رکھتا ہے؛ منفی کنٹرول میں، جہاں مشترک mapping کو خراب کیا جاتا ہے، یہ برتری ڈھہ جاتی ہے۔ اس سے تائید ملتی ہے کہ “اوسط ثقل کا اثر” اتفاقی فٹنگ کے بجائے مشترک mapping سے آتا ہے (شکل S4 دیکھیں)۔
(4) ضمیمہ B (P1A) جہت کو نمایاں طور پر بڑھائے بغیر DM طرف کو زیادہ معیاری خطِ اساس modules اور lensing کی ایک اہم system-error nuisance کے ساتھ دباؤ ٹیسٹ کرتا ہے؛ یہ اضافے EFT کی بندش برتری ختم نہیں کرتے (جدول B1 اور شکل B1 دیکھیں)۔

ڈیٹا اور کوڈ کی دستیابی: رپورٹ Concept DOI 10.5281/zenodo.18526334؛ مکمل بازتولیدی پیکج Concept DOI 10.5281/zenodo.18526286۔ ضمیمہ B (P1A) کے متعلقہ tags یہ ہیں: run_tag=20260213_151233، closure_tag=20260213_161731، joint_tag=20260213_195428۔

1 خلاصہ

ہم ایک ہی ڈیٹا اور ایک ہی شماریاتی پروٹوکول کے تحت دو نظریاتی فریم ورکوں کا قابلِ تکرار مقداری موازنہ کرتے ہیں: توانائی ریشہ نظریہ (Energy Filament Theory, EFT؛ اسے عام مخفف Effective Field Theory سے خلط نہ کیا جائے) کا پیش کردہ “اوسط ثقل اصلاح” ماڈل، اور سرد تاریک مادہ (DM) کے NFW ہالو کا خطِ اساس ماڈل (DM_RAZOR)۔ DM_RAZOR کو دانستہ طور پر “کم از کم DM خطِ اساس” رکھا گیا ہے: NFW ہالو + مقررہ c–M relation (halo-to-halo scatter کے بغیر)، تاکہ ایک شفاف، قابلِ آڈٹ اور قابلِ دوبارہ جانچ تقابلی نقطہ فراہم کیا جا سکے۔ ساتھ ہی یہ واضح رہے کہ اس مقالے میں EFT کو ایک مظہری، MOND نما موثر میدان/موثر پاسخ کی پیرامیٹرکاری کے طور پر استعمال کیا گیا ہے، نہ کہ اس کے خردبینی اولین اصول یہاں اخذ کیے گئے ہیں.

ڈیٹا میں SPARC گردشی منحنیات (RC) کے 2295 velocity data points شامل ہیں، جو یکساں preprocessing اور binning کے بعد حاصل ہوئے (104 کہکشائیں، 20 RC-bin)، نیز KiDS-1000 کے کہکشاں-کہکشاں کمزور عدسی اثر (GGL) کی equivalent surface density ΔΣ(R) شامل ہے: 4 stellar-mass bins × ہر bin میں 15 R points، کل 60 points، مکمل covariance کے ساتھ۔

ہم ترتیب سے RC-only inference، RC→GGL بندش آزمائش، GGL-only inference اور RC+GGL joint inference انجام دیتے ہیں، اور consistency audit کے ذریعے ہر quoted number کو traceable رکھتے ہیں۔ سخت پیرامیٹر کھاتہ اور مشترک mapping محدودt کے تحت (DM: 20 log M200_bin؛ EFT: 20 log V0_bin + ایک global log ℓ)، EFT خاندان joint فٹ میں DM_RAZOR سے نمایاں طور پر بہتر ہے: ΔlogL_total = 1155–1337 (DM_RAZOR کے مقابلے میں)۔ اس سے بھی اہم یہ ہے کہ بندش آزمائش دکھاتا ہے کہ RC posterior میں GGL کے لیے غیر معمولی predictive power موجود ہے: EFT کی بندش شدت ΔlogL_closure = 172–281 ہے، جو DM_RAZOR کے 127 سے اوپر ہے۔ جب RC-bin→GGL-bin grouping کو random shuffle کیا جاتا ہے تو closure signal 6–23 تک گر جاتا ہے، جس سے ثابت ہوتا ہے کہ یہ signal محض statistical accident یا implementation bias نہیں۔ σ_int، R_min اور covariance shrinkage کی systematic scans میں EFT کی relative advantage مثبت اور magnitude میں stable رہتی ہے۔ “DM خطِ اساس بہت کمزور ہے / systematics کو physics سمجھ لیا گیا ہے” جیسے عام اعتراضات کے جواب میں، ضمیمہ B (P1A) ایک زیادہ standard مگر کم-جہتی اور قابلِ آڈٹ DM خطِ اساس stress test فراہم کرتا ہے (hierarchical c–M scatter + prior، one-parameter core proxy، lensing m اور combined DM_STD سمیت)؛ اسی closure protocol کے تحت یہ enhancements EFT کی closure advantage ختم نہیں کرتے (جدول B1/شکل B1 دیکھیں)۔

کلیدی الفاظ: گردشی منحنیات؛ کہکشاں-کہکشاں کمزور عدسی اثر؛ بندش آزمائش؛ EFT؛ سرد تاریک مادہ؛ بیزی استدلال

2 تعارف اور نتائج کا جائزہ

گردشی منحنیات (RC) اور کہکشاں-کہکشاں کمزور عدسی اثر (GGL) ثقل کے دو تکمیلی پیمانے ہیں: RC قرصی سطح کے حرکی امکان اور شعاعی تعجیل کے تعلق (RAR) کو محدود کرتی ہیں، جبکہ GGL تصویری کمیتی تقسیم اور ہالو پیمانے کی ثقلی پاسخ کو ناپتا ہے۔ کسی بھی امیدوار نظریے کے لیے اصل سوال یہ نہیں کہ دو ڈیٹا مجموعوں کو الگ الگ فٹ کیا جا سکتا ہے یا نہیں، بلکہ یہ ہے کہ کیا ایک ہی مشترک نقشہ بندی اور مشترک قیود کے تحت دونوں کی مسلسل توضیح ممکن ہے۔

اسی لیے یہ مقالہ “بندش آزمائش” کو مرکزی شماریاتی protocol بناتا ہے: پہلے RC-only posterior سے GGL کی forward prediction بنائی جاتی ہے، پھر اسے RC-bin→GGL-bin mapping کی permutation/shuffle negative control سے compare کیا جاتا ہے۔ اس طرح ڈیٹا مجموعوں کے درمیان پیش گوئی کی منتقلی پذیری کو جانچا جاتا ہے اور implementation bias یا accidental فٹting سے بننے والے false signal کو خارج کیا جاتا ہے۔

نظریاتی حیثیت اور دائرہ: یہ مسودہ EFT (توانائی ریشہ نظریہ) کی خردبینی اولین اصولوں سے اخذ یا مکمل نسبتی صورت یہاں پیش کرنے کی کوشش نہیں کرتا۔ اس کے برعکس، ہم EFT کو ایک کم جہتی، MOND نما موثر میدان/موثر پاسخ کی پیرامیٹرکاری کے طور پر استعمال کرتے ہیں، جسے کرنل تابع f(x) اور عالمی پیمانہ ℓ سے بیان کیا گیا ہے؛ پھر سخت پیرامیٹر کھاتے کے تحت RC→GGL بندش آزمائش سے اس کی ڈیٹا مجموعوں کے درمیان مطابقت اور قابلِ انتقال پیش گوئی کی صلاحیت جانچتے ہیں۔

تحقیقی منصوبہ اور دائرہ بیان: یہ کام ایک جاری P-series observational retrieval program کا حصہ ہے۔ موجودہ galaxy-scale data میں ہم دو ممکنہ effective background contributions تلاش کرتے ہیں: (i) coarse-grained average gravitational response سے بیان ہونے والی “gravity floor” (mean gravity floor)، اور (ii) microscopic process fluctuations سے متعلق “noise floor” (stochastic/noise floor)۔ اس مقالے (P1) میں توجہ صرف پہلے پہلو پر ہے: کسی specific microscopic generation mechanism کو فرض کیے بغیر، RC→GGL بندش آزمائش کے ذریعے average gravity floor کے observational traces تلاش کیے جاتے ہیں اور انہیں ایک auditable DM خطِ اساس سے unified comparison protocol میں compare کیا جاتا ہے۔ رہنما physical image کے طور پر، اگر short-lived degrees of freedom موجود ہوں تو ان کا decay/annihilation rest mass کو دوسرے degrees of freedom کے energy-momentum میں بدل سکتا ہے؛ effective level پر یہ قدرتی طور پر “mean contribution + fluctuation contribution” کی decomposition دیتا ہے۔ تاہم یہ مقالہ اس microscopic picture کی quantitative modeling نہیں کرتا۔

حد سے زیادہ تعبیر سے بچنے کے لیے اس مقالے کی حدود یہ ہیں:
• یہ مقالہ کیا کرتا ہے: سخت پیرامیٹر کھاتہ اور مشترک نقشہ بندی کی قیود کے تحت بندش آزمائش سے ڈیٹا مجموعوں کے درمیان پیش گوئی کی منتقلی پذیری ناپتا ہے، اور EFT کی اوسط ثقلی پاسخ کو DM خطِ اساس کے ساتھ قابلِ تکرار موازنے میں رکھتا ہے۔
• یہ مقالہ کیا نہیں کرتا: کسی خردبینی پیداواری طریقۂ کار، فراوانی/عمر یا کونیاتی قیود پر بحث نہیں کرتا؛ “noise floor” سے متعلق تصادفی جزو کو بھی ماڈل نہیں کرتا۔
• یہ مقالہ کیا دعویٰ نہیں کرتا: اس کا مقصد تاریک مادے کو رد کرنا نہیں؛ P1 یہ حتمی فیصلہ نہیں دیتا کہ “بنیاد” موجود ہے یا نہیں، بلکہ ایک مرحلہ وار ثبوت رپورٹ کرتا ہے — اس مضبوط پیمائشی دائرے میں ڈیٹا اس ماڈل کو ترجیح دیتا ہے جس میں اوسط ثقلی پاسخ شامل ہو۔

ساتھ ہی ہم واضح کرتے ہیں کہ DM_RAZOR صرف ایک minimized، auditable NFW خطِ اساس کی نمائندگی کرتا ہے (fixed c–M، no scatter؛ no Adiabatic Contraction، no feedback core، no non-sphericity یا environmental terms)۔ اس لیے main-text conclusion سختی سے یہی ہے: اسی minimum خطِ اساس اور سخت parameter-ledger/mapping قیود کے تحت EFT کی cross-data consistency زیادہ مضبوط ہے۔ ایک عام سوال — کیا زیادہ standard ΛCDM خطِ اساس اور key lensing systematics modeling conclusion کو بدل سکتے ہیں؟ — کے جواب میں ہم زیادہ standard مگر کم جہتی اور auditable DM enhancements کو lensing-end nuisance کے ساتھ ضمیمہ B میں جمع کرتے ہیں (P1A: DM خطِ اساس standardization stress test)، اور main text جیسی shared mapping اور closure-test convention برقرار رکھتے ہیں (جدول B1/شکل B1 دیکھیں)۔

2.1 Tab S1a–S1b: کلیدی metrics کا خلاصہ (Strict)

جدول S1a joint فٹ (RC+GGL) کے main comparison metrics — logL، ΔlogL، AICc اور BIC — دیتا ہے؛ جدول S1b بندش آزمائش اور robustness scans کے metrics دیتا ہے، جن میں closure، shuffle negative control اور σ_int / R_min / cov-shrink scan ranges شامل ہیں۔ تمام اعداد strict summary master table Tab_Z1_master_summary سے لیے گئے ہیں اور release archive package میں item-by-item traceable ہیں۔

جدول S1a | joint فٹ کے main comparison metrics (RC+GGL، Strict)۔

جدول S1b | closure اور robustness metrics (Strict)۔

2.2 Fig S3: closure strength (RC-only → GGL prediction)

closure strength کی تعریف ΔlogL_closure ≡ ⟨logL_true⟩ − ⟨logL_perm⟩ ہے: RC-only posterior samples پر GGL کی forward prediction بنائی جاتی ہے اور اسے “permuted RC-bin→GGL-bin mapping” negative control سے compare کیا جاتا ہے۔

شکل S3 | closure strength (زیادہ بہتر): RC-only سے GGL prediction کا average log-likelihood advantage۔

2.3 Fig S4: joint فٹ کا مرکزی موازنہ (RC+GGL)

joint فٹ advantage کی تعریف ΔlogL_total ≡ logL_total(model) − logL_total(DM_RAZOR) ہے۔ ایک ہی data، ایک ہی mapping اور تقریباً ایک جیسے parameter scale کے تحت EFT family نمایاں طور پر زیادہ joint log-likelihood حاصل کرتی ہے۔

شکل S4 | joint فٹ advantage (زیادہ بہتر): RC+GGL کا best logL_total بنسبت DM_RAZOR۔

2.4 چار جملوں کا نتیجہ (براہِ راست قابلِ حوالہ)

(1) SPARC rotation curves + KiDS-1000 weak lensing کی unified joint analysis میں EFT average gravity framework models strict comparison protocol کے تحت systematic طور پر DM_RAZOR سے بہتر ہیں: ΔlogL_total = 1155–1337 (DM_RAZOR کے مقابلے میں)۔

(2) RC→GGL بندش آزمائش دکھاتا ہے کہ EFT کی predictive consistency زیادہ مضبوط ہے: ΔlogL_closure = 172–281، جبکہ DM_RAZOR کے لیے 127؛ اور جب RC-bin→GGL-bin grouping random shuffle کی گئی تو closure signal 6–23 تک collapse ہوگیا، جس سے ظاہر ہوتا ہے کہ signal صحیح cross-data mapping پر depend کرتا ہے، accidental فٹting پر نہیں۔

(3) σ_int، R_min اور covariance shrinkage کی systematic scans نے “EFT DM_RAZOR سے بہتر ہے” کے sign اور magnitude کو نہیں بدلا؛ اس لیے conclusion common system perturbations کے مقابلے میں robust ہے۔

(4) ضمیمہ B (P1A) اسی closure protocol کے تحت DM خطِ اساس کو “standardized and auditable” انداز میں مضبوط کرتا ہے: تین one-parameter branches (SCAT/AC/FB) برقرار رہتی ہیں، اور hierarchical c–M scatter + prior، one-parameter core proxy، lensing-end shear calibration m اور ان کا combined DM_STD شامل کیا جاتا ہے۔ نتائج دکھاتے ہیں کہ صرف feedback/core branch closure strength میں چھوٹا net gain دیتی ہے (122.21→129.45، ΔΔlogL_closure≈+7.25)، باقی enhancements closure strength میں significant یا positive contribution نہیں دیتے؛ لہٰذا main conclusion DM_RAZOR کے زیادہ کمزور ہونے پر depend نہیں کرتا۔

3 ڈیٹا اور preprocessing

یہ تحقیق دو قسم کے public data استعمال کرتی ہے، اور engineering pipeline میں traceable scripts کے ذریعے download، checksum verification (sha256) اور preprocessing مکمل کیا گیا۔ cross-model fair comparison کے لیے تمام workspaces (EFT_BIN / EFT_WEXP / EFT_WYUK / EFT_WPOW / DM_RAZOR) بالکل ایک جیسے data products اور bin mapping share کرتے ہیں۔

3.1 گردشی منحنیات (RC، SPARC)

RC data SPARC database کے Rotmod_LTG سے آتا ہے (175 rotmod files)۔ preprocessing کے بعد اس project کی modeling میں 104 galaxies شامل ہوئیں، کل 2295 (r, V_obs) data points، جنہیں stellar mass وغیرہ کے قواعد سے 20 RC-bin میں تقسیم کیا گیا۔ ہر data point میں radius r (kpc)، observed velocity V_obs (km/s)، error σ_obs، اور gas/disk/bulge component velocities (V_gas, V_disk, V_bul) شامل ہیں۔

3.2 کمزور عدسی اثر (GGL، KiDS-1000 / Brouwer+2021)

GGL data Brouwer et al. (2021) کے KiDS-1000 Fig.3 سے equivalent surface density ΔΣ(R) لیتا ہے (4 stellar-mass bins، ہر bin میں 15 R points)، اور فراہم کردہ full covariance استعمال کرتا ہے۔ engineering pipeline میں raw long-form covariance کو ہر bin کے 15×15 matrix میں reconstruct کیا گیا، اور Stage-B audit نے dimensions اور numerical reasonableness verify کیے۔

3.3 RC-bin → GGL-bin mapping اور کل sample size

GGL کے 4 mass bins اور RC کے 20 bins ایک fixed mapping سے جڑتے ہیں: ہر GGL-bin، 5 RC-bins سے correspond کرتا ہے، اور RC-bin contributions کو galaxy-count weights سے average کیا جاتا ہے۔ یہ mapping تمام models میں unchanged رہتی ہے اور بندش آزمائش و joint فٹ کی fair comparison کا core محدودt ہے۔ final joint data-point count n_total = 2355 ہے (RC=2295، GGL=60)۔

4 ماڈل اور شماریاتی طریقہ

4.1 EFT اور DM کی کم از کم mathematical specification (auditable/testable)

یہ section وہ minimum mathematical specification دیتا ہے جو implementation سے براہِ راست map ہو سکتی ہے۔

(a) گردشی منحنیات (RC) model

ہر RC data point (r, V_obs, σ_obs) کے لیے ہم component superposition استعمال کرتے ہیں: V_mod²(r) = V_bar²(r) + V_extra²(r)۔ یہاں V_bar²(r) = V_gas²(r) + Υ_d·V_disk²(r) + Υ_b·V_bul²(r)۔ اس paper کے main results میں Υ_d = Υ_b = 0.5 لیا گیا ہے، جو SPARC empirical recommendation سے consistent ہے اور غیر ضروری freedom کم کرنے میں بھی مدد دیتا ہے۔

(b) EFT average gravity correction (EFT)

EFT کا extra term “average velocity squared” کی form میں parameterized ہے: V_extra²(r) = V0_bin² · f(r/ℓ)۔ یہاں V0_bin ہر RC-bin کا amplitude parameter ہے (20)، ℓ عالمی پیمانہ ہے (1)، اور f(x) dimensionless kernel-shape function ہے۔ اس paper میں compare کیے گئے kernel shapes (جن میں کوئی additional continuous freedom شامل نہیں) یہ ہیں:

• none: f(x)=x/(1+x)
• exponential: f(x)=1−exp(−x)
• yukawa: f(x)=1−exp(−x)·(1+0.5x)
• powerlaw_tail: f(x)=1−(1+x)^(−1/2)
• (اختیاری control) gaussian: f(x)=erf(x/√2) (main conclusion set میں شامل نہیں)

physical motivation (expanded): EFT galaxy scale کی extra gravitational response کو finite scale پر زیادہ microscopic interactions کے coarse-grained/scale-averaged effective response کے طور پر سمجھتا ہے۔ اس paper میں ہم کسی specific microscopic mechanism کو presuppose نہیں کرتے، بلکہ minimum، auditable parameterization اختیار کرتے ہیں تاکہ unified statistical protocol کے تحت controlled comparison اور test ہو سکے۔

intuitive understanding کے لیے extra term کو acceleration form میں بھی لکھا جا سکتا ہے: a_extra(r)=V_extra²(r)/r=(V0_bin²/r)·f(r/ℓ)۔ جب r≫ℓ ہو تو f→1 اور V_extra→V0_bin، جس سے outer region میں تقریباً flat extra velocity contribution ملتا ہے۔ جب r≪ℓ اور f(x)≈x ہو، تو characteristic acceleration scale a0,bin≈V0_bin²/ℓ introduce کیا جا سکتا ہے (kernel factor میں O(1) difference کے ساتھ)، جو MOND-like inner–outer transition scale intuition دیتا ہے۔

اس paper میں استعمال ہونے والی discrete kernel family (none/exponential/yukawa/powerlaw_tail) مختلف “initial slope / transition speed / long-range tail” کے کم جہتی proxies کے طور پر دیکھی جا سکتی ہے؛ مثلاً Yukawa-like screening بمقابلہ longer-tail response۔ مقصد robustness stress testing ہے، model space exhaust کرنا نہیں۔ weak-lensing part میں ہم V_avg(r) سے effective envelope mass اور density construct کرتے ہیں اور projection سے ΔΣ(R) نکالتے ہیں؛ اس effective density کو spherical symmetry اور weak-field mapping assumptions کے تحت lensing potential کی effective description سمجھنا چاہیے (full details appendix A میں منتقل ہیں)۔

یہ kernel shapes x→∞ پر f(x)→1 پورا کرتے ہیں، یعنی V_extra²→V0² saturation؛ جبکہ x≪1 پر linear یا sublinear growth دیتے ہیں: مثلاً exponential: f≈x؛ yukawa: f≈0.5x؛ powerlaw_tail: f≈0.5x۔ اس لیے different kernels چھوٹے radius کی initial slope، transition speed اور outer tail میں observable differences دیتے ہیں، جنہیں RC+GGL joint فٹ اور بندش آزمائش سے distinguish کیا جا سکتا ہے۔

EFT کی weak-lensing ΔΣ(R) prediction V_avg(r) سے envelope mass اور density back-infer کرتی ہے، پھر projection integrals سے حاصل ہوتی ہے: M_enc(r)=r·V_avg²(r)/G، ρ(r)=(1/4πr²)·dM_enc/dr، Σ(R)=2∫_R^∞ ρ(r)·r/√(r²−R²) dr، ΔΣ(R)=Σ̄(<R)−Σ(R)۔ numerical implementation log grid استعمال کرتا ہے اور abnormal cases میں adaptive refinement کرتا ہے، تاکہ stability اور reproducibility برقرار رہے۔

(c) DM_RAZOR: NFW cold-dark-matter halo خطِ اساس

ساتھ ہی ہم واضح کرتے ہیں کہ DM_RAZOR صرف minimized، auditable NFW خطِ اساس کی نمائندگی کرتا ہے (fixed c–M، no scatter؛ no Adiabatic Contraction، no feedback core، no non-sphericity یا environmental terms)۔ “strawman خطِ اساس” risk کم کرنے کے لیے یہ paper یہ دعویٰ نہیں کرتا کہ یہ effects موجود نہیں؛ اس کے برعکس انہیں کم جہتی اور auditable طریقے سے ضمیمہ B (P1A) میں stress tests کے طور پر شامل کیا گیا ہے: c–M scatter کا hierarchical treatment، core proxy، lensing-end shear-calibration nuisance وغیرہ۔

4.2 model ledger اور fair comparison (shared parameters = closure definition)

main comparison set میں parameter counts یہ ہیں: DM_RAZOR k=20؛ EFT family k=21 (اضافی 1 global log ℓ ہے)۔ تمام models ایک ہی RC data، ایک ہی GGL data اور covariance، ایک ہی RC-bin→GGL-bin mapping، ایک ہی baryonic terms اور unit conversions share کرتے ہیں۔ مزید یہ کہ kernel shapes (none / exponential / yukawa / powerlaw_tail) discrete choices ہیں؛ وہ extra continuous parameters introduce نہیں کرتے، تاکہ “ایک اضافی degree of freedom” سے advantage نہ مل سکے۔

4.3 Likelihood، priors اور sampler

RC likelihood diagonal Gaussian ہے: σ_eff² = σ_obs² + σ_int²؛ main results میں σ_int=5 km/s fixed ہے، اور Run-5 میں σ_int scan کیا گیا۔ GGL likelihood ہر bin کے full covariance Gaussian سے ہے: logL_GGL = Σ_b log 𝒩(ΔΣ_obs^b | ΔΣ_mod^b, C_b)۔ joint objective logpost(θ)=logprior(θ)+logL_RC(θ)+logL_GGL(θ) ہے۔ priors بنیادی طور پر physical feasibility boundaries ہیں (log ℓ، log V0، log M200 کی interval قیود)؛ free Υ اور σ_int فعال ہونے پر weakly informative priors استعمال ہوتے ہیں (implementation اور release package configuration دیکھیں)۔

sampler adaptive block Metropolis random walk استعمال کرتا ہے: high-dimensional acceptance rate بہتر کرنے کے لیے ہر step میں parameter space کا random sub-block update ہوتا ہے، اور window acceptance rate کے مطابق step size کی lightweight adaptation کی جاتی ہے (target acceptance تقریباً 0.25)۔ main results quick mode (n_steps=800 وغیرہ) سے لیے گئے ہیں، اور ہر workspace کے لیے trace، residuals اور PPC plots output کیے گئے تاکہ manual اور scripted audit ہو سکے۔

4.4 بندش آزمائش اور negative control (definition)

بندش آزمائش (Run-2) GGL کو دوبارہ فٹ کیے بغیر یہ جانچتا ہے کہ “کیا RC-only posterior GGL predict کر سکتا ہے”۔ طریقہ یہ ہے: RC-only posterior samples پر 4 GGL-bins کی ΔΣ(R) forward-generate کی جاتی ہے، full covariance سے logL_true calculate ہوتا ہے؛ پھر RC-bin→GGL-bin grouping mapping random permutation سے بدل کر logL_perm حاصل کیا جاتا ہے۔ closure strength ΔlogL_closure≡⟨logL_true⟩−⟨logL_perm⟩ ہے۔ اس کے علاوہ Run-10 میں 20 RC-bins کو random طور پر 4×5 groups میں regroup (shuffle) کر کے closure دوبارہ calculate کیا گیا، تاکہ signal کی correct mapping پر dependence test ہو سکے۔

5 مرکزی نتائج اور تشریح

5.1 joint فٹ کے مرکزی نتائج (RC+GGL)

joint فٹ کا best logL_total اور relative advantage ΔlogL_total (DM_RAZOR کے مقابلے میں) جدول S1a اور شکل S4 میں ہے۔ main comparison set میں EFT_BIN کی joint advantage سب سے زیادہ ہے (ΔlogL_total=1337.210)، اور دوسرے EFT kernels بھی نمایاں advantage برقرار رکھتے ہیں (1154.827–1294.442)۔ information criteria (AICc/BIC) میں بھی EFT family DM_RAZOR سے واضح طور پر بہتر ہے، جس سے معلوم ہوتا ہے کہ advantage parameter count bias سے نہیں آتی۔

نوٹ: ΔlogL_total≈1337 کی بنیادی contribution RC term سے آتی ہے (joint decomposition میں ΔlogL_RC≈1065، تقریباً 80%)؛ اسے N=2295 RC data points پر ہر point کے لیے Δχ²≈0.90 کی mild improvement کے diagonal Gaussian likelihood میں natural accumulation کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے، جو 10^3 scale advantage دیتی ہے۔ ساتھ ہی GGL اور بندش آزمائش independent cross-ڈیٹا مجموعہ قیود فراہم کرتے ہیں، اور σ_int، R_min اور cov-shrink stress tests کے تحت ranking stable رہتی ہے (دفعہ 6 اور جدول S1b دیکھیں)۔

5.2 بندش آزمائش کے نتائج (RC-only → GGL)

بندش آزمائش کا key quantity ΔlogL_closure جدول S1b اور شکل S3 میں ہے۔ EFT family کی closure strength 171.977–280.513 ہے، جو DM_RAZOR کے 126.678 سے زیادہ ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ کسی بھی اضافی cross-data freedom کے بغیر، EFT کو RC data سے ملنے والے posterior samples GGL data کے لیے زیادہ مضبوط transferable predictive ability رکھتے ہیں۔

negative control closure signal کی physical relevance کو مزید support کرتا ہے: جب RC-bin→GGL-bin grouping random shuffle کی گئی تو EFT closure strength 6–15 تک کم ہوئی (kernel کے لحاظ سے معمولی فرق)، جبکہ خطِ اساس closure strength 172–281 تک تھی۔ یہ “signal collapse” numerical implementation، unit errors یا covariance mishandling سے پیدا ہونے والی false advantage کو exclude کرتا ہے۔

شکل R1 | negative control: shuffle grouping کے بعد closure signal نمایاں طور پر کم ہوتا ہے (Tab_Z1 metrics سے بنایا گیا)۔

5.3 نتائج کا مطلب اور حدود

اس تحقیق کا conclusion یہ ہے کہ “اس ڈیٹا مجموعہ اور اس protocol کے تحت EFT average gravity correction tested DM_RAZOR خطِ اساس سے بہتر ہے”۔ زور دے کر کہنا چاہیے کہ DM side صرف minimum NFW خطِ اساس اور fixed c(M) relation استعمال کرتا ہے؛ core formation، non-sphericity، environmental terms یا زیادہ complex galaxy-halo connection models شامل نہیں۔ لہٰذا یہ مسودہ تمام DM model families کو exclude کرنے کا دعویٰ نہیں کرتا؛ یہ ایک reproducible، closure-test-centered comparison خطِ اساس فراہم کرتا ہے، جس سے evaluate کیا جا سکے کہ آیا RC اور GGL کو ایک ہی cross-data parameters اور mapping سے consistent طور پر explain کیا جا سکتا ہے۔

اسی عام سوال کے جواب میں ہم نے ایک مستقل extension project P1A مکمل کیا ہے (ضمیمہ B دیکھیں)۔ RC-bin→GGL-bin shared mapping اور audit framework کو بدلے بغیر DM خطِ اساس کو “standardized and auditable” انداز میں strengthen کیا گیا: تین one-parameter enhancements (SCAT/AC/FB) کے علاوہ (i) hierarchical c–M scatter + mass–concentration prior (DM_HIER_CMSCAT)، (ii) one-parameter baryonic-feedback core proxy (DM_CORE1P)، اور (iii) weak-lensing-end shear calibration nuisance m (DM_RAZOR_M) شامل کیے گئے، پھر combined model DM_STD دیا گیا؛ EFT_BIN کو comparison reference کے طور پر برقرار رکھا گیا۔

• DM_RAZOR_SCAT (c–M scatter) — halo-to-halo concentration dispersion parameter σ_logc introduce کرتا ہے، تاکہ test ہو سکے کہ “fixed c(M)” DM کی explanatory capacity کو systematic طور پر underestimate تو نہیں کرتا۔
• DM_RAZOR_AC (Adiabatic Contraction) — single parameter α_AC سے “no contraction ↔ standard contraction” کے درمیان continuous interpolation کرتا ہے، تاکہ minimum cost پر baryon-driven inner contraction trend capture ہو سکے۔
• DM_RAZOR_FB (Feedback / core) — core scale (مثلاً log r_core) سے inner-region core formation کا rotation curves پر suppressing effect describe کرتا ہے، جبکہ weak-lensing scales پر NFW approximation برقرار رہتی ہے۔

P1A کا quantitative scoreboard ضمیمہ B کے جدول B1 / شکل B1 میں ہے، جو Tab_S1_P1A_scoreboard سے automatically generated ہے۔ closure metric میں DM_RAZOR_FB چھوٹا net improvement دیتا ہے (122.21→129.45، +7.25)، جبکہ باقی enhancements closure strength میں significant یا positive contribution نہیں دیتے۔ joint فٹ side پر hierarchical c–M scatter prior (DM_HIER_CMSCAT) یا combined model (DM_STD) شامل کرنے سے joint logL نمایاں بہتر ہو سکتا ہے، مگر closure strength بہتر نہیں ہوتی؛ یہ اشارہ ہے کہ gain بنیادی طور پر joint-فٹ flexibility ہے، cross-تحقیقی پیمانہ transferability نہیں۔ اس لیے main text کا core conclusion یوں پڑھنا چاہیے: strict shared mapping اور closure-test قیود کے تحت EFT کی cross-data consistency advantage DM side کے “too weak خطِ اساس” کے انتخاب سے پیدا نہیں ہوئی۔ ضمیمہ B کا P1A release package (supplementary tables/figures اور full_فٹ_runpack) اس paper کے full_فٹ_runpack والے same Zenodo Concept DOI میں اضافی files کے طور پر شامل کیا جائے گا: ‎https://doi.org/10.5281/zenodo.18526286۔

6 مضبوطی اور control experiments

6.1 σ_int scan (Run-5)

ہم نے RC کے intrinsic scatter σ_int کا systematic scan کیا، اور ہر σ_int پر joint inference دہرایا، پھر DM_RAZOR کے مقابلے میں ΔlogL_total calculate کیا۔ ہر model کے scan range میں ΔlogL_total کی minimum/maximum values جدول S1b میں دی گئی ہیں۔

شکل R2 | σ_int scan کے تحت ΔlogL_total کی range (زیادہ بہتر)۔

6.2 R_min scan (Run-6)

central-region data systematics — مثلاً non-circular motion، resolution اور insufficient baryon modeling — کے اثرات test کرنے کے لیے ہم نے RC پر R_min threshold cut لگایا اور joint inference دہرایا۔ EFT family کی advantage R_min scan کے تحت positive اور magnitude میں stable رہی۔

شکل R3 | R_min scan کے تحت ΔlogL_total کی range (زیادہ بہتر)۔

6.3 cov-shrink scan (Run-7)

GGL covariance uncertainty test کرنے کے لیے ہم نے ہر mass bin کی covariance matrix پر shrinkage apply کیا: C_α=(1−α)C+α·diag(C)، اور α کو scan کیا۔ نتائج دکھاتے ہیں کہ EFT family کی advantage اس treatment کے لیے insensitive ہے۔

شکل R4 | cov-shrink scan کے تحت ΔlogL_total کی range (زیادہ بہتر)۔

6.4 ablation ladder (Run-8)

EFT_BIN کے اندر nested ablation کیا گیا: extreme minimalist model (free parameters کے بغیر) سے شروع کر کے limited freedom تک، اور پھر full 20-bin amplitude + عالمی پیمانہ تک۔ AICc/BIC دکھاتے ہیں کہ full EFT_BIN data explanation کے لیے significantly necessary ہے۔

شکل R5 | EFT_BIN کی ablation ladder (AICc، کم بہتر)۔

6.5 leave-out prediction (Run-9)

ہم نے مزید leave-one-bin-out (LOO) test کیا: GGL کے 4 mass bins میں ہر بار 1 bin چھوڑا گیا، باقی bins (اور all RC) سے inference دوبارہ کی گئی، پھر held-out bin پر test log-likelihood evaluate ہوا۔ summary metrics supplementary table Tab_R3_leave_one_bin_out میں ہیں (Run-9 product؛ دفعہ 8.2 کی key product list میں file path pattern دیا گیا ہے)؛ EFT family بدترین held-out case میں بھی DM_RAZOR سے واضح طور پر بہتر رہی۔

شکل R6 | LOO: held-out bin کی log-likelihood distribution (Run-9 product سے)۔

6.6 negative control: RC-bin shuffle (Run-10)

Run-10 میں 20 RC-bins کو random طور پر 4×5 میں regroup کیا گیا، اور RC-only posterior کو unchanged رکھتے ہوئے closure recalculate کیا گیا۔ نتائج دکھاتے ہیں کہ original mapping کے مقابلے میں shuffle closure کے mean logL_true اور ΔlogL_closure کو نمایاں طور پر کم کرتا ہے (جدول S1b اور شکل R1 دیکھیں)، جو closure signal کی interpretability کو مزید support کرتا ہے۔

شکل R7 | negative control: shuffle mapping سے closure mean logL_true واضح طور پر گھٹتا ہے (Run-10 product سے)۔

7 traceability اور consistency audit (Provenance)

اس paper میں cite کیے گئے تمام numbers release archive کی strict summary tables اور audit records میں item-by-item traceable ہیں۔ main text کی روانی برقرار رکھنے کے لیے complete provenance chain — tag list، audit tables، checksum manifest اور verification method — appendix A میں منتقل کی گئی ہے۔

8 reproducibility اور Zenodo archive (Reproducibility & Archive)

data and code availability statement: اس paper میں استعمال شدہ SPARC rotation curves اور KiDS-1000 weak-lensing data public ہیں۔ publication-level report Zenodo میں archive ہو چکی ہے (Concept DOI: ‎https://doi.org/10.5281/zenodo.18526334)، اور full reproduction package بھی Zenodo میں archive ہے (Concept DOI: ‎https://doi.org/10.5281/zenodo.18526286)۔ detailed execution steps، dependency environment، archive manifest اور hash-check information ضمیمہ A میں ہے؛ DM خطِ اساس standardization stress test (P1A) کا design، run tags اور outputs ضمیمہ B میں ہیں۔

اسی full reproduction package Concept DOI (‎https://doi.org/10.5281/zenodo.18526286) کے تحت ہم use case کے مطابق دو reproducible entries فراہم کرتے ہیں:
• P1 (main text) full_فٹ_runpack: EFT vs DM_RAZOR کے RC-only / closure / joint اور robustness scans reproduce کرتا ہے، اور main text کے Table S1a/S1b اور Fig S3/S4 assets بناتا ہے؛
• P1A (Appendix B) full_فٹ_runpack: DM خطِ اساس standardization stress test reproduce کرتا ہے (SCAT/AC/FB + hierarchical c–M scatter prior + core1p + lensing m + DM_STD؛ EFT_BIN reference سمیت)، اور Appendix Table B1 اور Fig B1 بناتا ہے۔
P1A supplementary tables/figures اور full_فٹ_runpack کو same Concept DOI میں additional files کے طور پر شامل کیا جائے گا تاکہ archive entry واحد رہے۔

9 acknowledgements اور declarations

9.1 acknowledgements

SPARC اور KiDS-1000 teams کا شکریہ کہ انہوں نے public data اور documentation فراہم کی؛ نیز project reconstruction اور audit workflow میں حصہ لینے والوں کا شکریہ۔

9.2 author contributions

Guanglin Tu اس تحقیق کے conceptual proposal، study design، engineering implementation، data organization، formal analysis، reproduction workflow implementation اور audit کے ساتھ ساتھ مسودہ writing کے ذمہ دار تھے۔

9.3 funding

Guanglin Tu نے ذاتی طور پر funding فراہم کی (کوئی external funding / grant number نہیں)۔

9.4 competing interests

Guanglin Tu کا “EFT Working Group, Shenzhen Energy Filament Science Research Co., Ltd. (China)” سے تعلق ہے؛ اس کے علاوہ کوئی competing interests نہیں۔

9.5 AI assistance

OpenAI GPT-5.2 Pro اور Gemini 3 Pro کو language polishing، structured editing اور reproduction workflow organization کے لیے استعمال کیا گیا؛ data، results، figures، tables یا code بنانے یا modify کرنے کے لیے استعمال نہیں کیا گیا؛ citations generate کرنے کے لیے استعمال نہیں کیا گیا؛ author پورے متن اور citation accuracy کی مکمل ذمہ داری لیتے ہیں۔

10 references

• Lelli, F., McGaugh, S. S., & Schombert, J. M. (2016). SPARC: Mass Models for 175 Disk Galaxies with Spitzer Photometry and Accurate Rotation Curves. The Astronomical Journal, 152, 157. DOI: 10.3847/0004-6256/152/6/157.
• Brouwer, M. M., Oman, K. A., Valentijn, E. A., et al. (2021). The weak lensing شعاعی تعجیل کا تعلق: Constraining modified gravity and cold dark matter theories with KiDS-1000. Astronomy & Astrophysics, 650, A113. DOI: 10.1051/0004-6361/202040108.
• Wright, C. O., & Brainerd, T. G. (2000). Gravitational Lensing by Navarro–Frenk–White Halos. The Astrophysical Journal, 534, 34–40.
• Navarro, J. F., Frenk, C. S., & White, S. D. M. (1997). A Universal Density Profile from Hierarchical Clustering. Astrophysical Journal, 490, 493. DOI: https://doi.org/10.1086/304888
• Dutton, A. A., & Macciò, A. V. (2014). Cold dark matter haloes in the Planck era: evolution of structural parameters for NFW haloes. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 441, 3359–3374. DOI: https://doi.org/10.1093/mnras/stu742
• Blumenthal, G. R., Faber, S. M., Flores, R., & Primack, J. R. (1986). Contraction of dark matter galactic halos due to baryonic infall. Astrophysical Journal, 301, 27. DOI: https://doi.org/10.1086/163867
• Di Cintio, A., Brook, C. B., Dutton, A. A., et al. (2014). A mass-dependent density profile for dark matter haloes including the influence of galaxy formation. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 441, 2986–2995. DOI: https://doi.org/10.1093/mnras/stu729
• Read, J. I., Agertz, O., & Collins, M. L. M. (2016). Dark matter cores all the way down. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 459, 2573–2590. DOI: https://doi.org/10.1093/mnras/stw713
• توانائی ریشہ نظریہ. Zenodo (open science repository) DOI: ‎https://doi.org/10.5281/zenodo.18517411

ضمیمہ A: traceability اور reproducibility details

یہ appendix long-term archive کے لیے traceability اور reproducibility information (run tags، audit results، archive manifest، check points وغیرہ) جمع کرتا ہے تاکہ readers حسبِ ضرورت verify اور reproduce کر سکیں۔

A.1 traceability اور audit details

long-term traceability کے لیے project ہر run اور output پر timestamp tag لگاتا ہے، اور historical products کو overwrite کیے بغیر محفوظ رکھتا ہے۔ اس مسودہ میں cite کیے گئے core numbers strict compilation (compile_tag=20260205_035929) سے آتے ہیں، اور انہوں نے درج ذیل consistency audits pass کیے ہیں:

• تمام stage-wise tables میں run_tag اور stage tag شامل ہیں؛ strict summary script report/tables میں سے complete اور consistent canonical table sources select کرتا ہے۔

• Tab_Z1_master_summary اور Tab_Z2_conclusion_highlights کی numerical values selected canonical tables کے ساتھ item-by-item compare کی گئی ہیں۔

• PDF generation کے وقت “cited table/figure tags” پر tag audit کیا گیا تاکہ old products کے ساتھ mixing نہ ہو۔

key tags (تمام intermediate products locate کرنے کے لیے): run_tag=20260204_122515؛ closure_tag=20260204_124721؛ joint_tag=20260204_152714؛ sigma_sweep_tag=20260204_161852؛ rmin_sweep_tag=20260204_195247؛ covshrink_tag=20260204_203219؛ ablation_tag=20260204_214642؛ LOO_tag=20260204_224827؛ negctrl_tag=20260204_234528؛ strict_compile_tag=20260205_035929؛ release_tag=20260205_112442۔

consistency audit result: Tab_AUDIT_checks_strict میں pass=9، fail=0، skip=0 دکھایا گیا ہے (release package دیکھیں)۔

A.2 reproducibility execution steps اور archive manifest

اس study کا reproducibility system “publication-level report + tables/figures supplement + full rerunnable runpack” پر مشتمل ہے۔ readers Tables & Figures Supplement براہِ راست دیکھ کر paper میں cite کردہ تمام table/figure assets verify کر سکتے ہیں؛ اگر numerical values اور audit chain کو zero سے reproduce کرنا ہو تو full_فٹ_runpack data download کر کے پورا workflow rerun کرتا ہے، اور run کے اختتام پر package کے اندر reference-table comparison script سے table values consistency verify کی جا سکتی ہے۔

A.2.1 reproduction Quickstart (RUN_FULL، Windows PowerShell)

یہ section ایک مختصر reproduction path دیتا ہے (Windows PowerShell)۔ quick check کے لیے Tables & Figures Supplement کو براہِ راست دیکھ کر quoted tables اور figures item-by-item verify کرنا بہتر ہے۔ اگر end-to-end reproduction اور تمام tables/figures/audit products generate کرنے ہوں تو full_فٹ_runpack استعمال کریں: package README/ONE_PAGE_REPRO_CHECKLIST کے مطابق verify_checksums.ps1 اور RUN_FULL.ps1 چلائیں (Mode=full recommended)۔

Zenodo archive entry (Concept DOI): ‎https://doi.org/10.5281/zenodo.18526286۔
اس paper کی main-chain tags: run_tag=20260204_122515، strict compile_tag=20260205_035929، release_tag=20260205_112442۔

A.2.2 archive materials اور key checkpoints (Packages & checks)

Zenodo archive تین complementary material classes فراہم کرتا ہے: (1) publication-level report (یہ paper، v1.1؛ ضمیمہ B سمیت: P1A DM خطِ اساس standardization stress test)؛ (2) Tables & Figures Supplement (tables and figures supplement: paper میں cite کیے گئے تمام table/figure assets، P1 اور P1A کے لیے الگ)؛ (3) full_فٹ_runpack (full reproduction package: zero سے data download اور full workflow rerun، P1 اور P1A کے لیے الگ)۔ items (1)–(2) quick reading اور independent checking کو support کرتے ہیں؛ item (3) full end-to-end reproducibility فراہم کرتا ہے۔

citation suggestion: اس paper یا associated reproduction materials کو cite کرتے وقت براہِ کرم Zenodo Concept DOI ذکر کریں (‎https://doi.org/10.5281/zenodo.18526334)۔

reproduction کے بعد ظاہر ہونے اور compare کیے جانے والے key products میں شامل ہیں:

• report/tables/Tab_D_closure_summary__20260204_122515__*.csv (closure summary)
• report/tables/Tab_F_joint_summary__20260204_122515__*.csv (joint فٹ summary)
• report/tables/Tab_G_joint_sigma_sweep__20260204_122515__*.csv (σ_int scan)
• report/tables/Tab_H_joint_rmin_sweep__20260204_122515__*.csv (R_min scan)
• report/tables/Tab_I_joint_covshrink_sweep__20260204_122515__*.csv (cov-shrink scan)
• report/tables/Tab_R2_ablation_ladder__20260204_122515__*.csv (ablation)
• report/tables/Tab_R3_leave_one_bin_out__20260204_122515__*.csv (LOO)
• report/tables/Tab_R4_negctrl_rcbin_shuffle__20260204_122515__*.csv (negative control)
• report/final/Tab_Z1_master_summary__20260204_122515__20260205_035929.csv (Strict master table؛ Table S1a/S1b اور main-text values سے مطابق)
• report/final/P1_RC_GGL_final_bundle__20260204_122515__20260205_035929.pdf (publication-level PDF summary؛ quick browsing اور citation کے لیے)

ضمیمہ B: P1A — DM خطِ اساس standardization stress test (DM 7+1 + DM_STD؛ EFT comparison سمیت)

یہ appendix main-text closure protocol سے consistent “DM خطِ اساس standardization stress test” extension project (P1A) record کرتا ہے۔ اس کی positioning یہ ہے: large number of degrees of freedom introduce کیے بغیر، اور RC-bin→GGL-bin shared mapping و audit framework بدلے بغیر، main text میں استعمال ہونے والے minimum DM_RAZOR (NFW + fixed c–M، no scatter/no contraction/no core) کو ایسے DM خطِ اساس set تک upgrade کیا جائے جو astrophysical practice کے قریب تر اور common objections کے خلاف زیادہ resilient ہو۔ P1A پہلے کے تین-branch stress test کو cover بلکہ extend کرتا ہے: SCAT/AC/FB کو retain کرتے ہوئے hierarchical c–M scatter + prior، one-parameter core proxy، lensing-end shear-calibration nuisance m، اور combined model DM_STD شامل ہیں؛ EFT_BIN کو comparison reference کے طور پر برقرار رکھا گیا ہے۔

supplementary note: Appendix B (P1A) کی closure strength وغیرہ زیادہ Monte Carlo budget پر calculate ہوئی ہے (مثلاً ndraw=400، nperm=24)، جبکہ main text میں full EFT kernel family cover کرنے کے لیے quick budget استعمال ہوا (مثلاً ndraw=60، nperm=12)۔ اس لیے absolute values میں O(10) scale sampling drift ہو سکتی ہے؛ مگر ایک ہی budget اور ایک ہی table کے اندر model comparisons fair ہیں، اور advantage کا sign و magnitude مختلف budgets میں stable رہتا ہے۔

B.1 مقصد اور positioning (Why P1A, and why as an Appendix)

P1A تمام ΛCDM halo modeling possibilities کو exhaust کرنے کی کوشش نہیں کرتا، مثلاً non-sphericity، environment dependence، complex galaxy-halo connection یا high-dimensional baryon physics۔ اس کے بجائے P1A “کم جہتی، auditable، reproducible” principle لیتا ہے: ہر enhancement module زیادہ سے زیادہ ≤1 key effective parameter introduce کرتا ہے، اور اس paper کے تین hard قیود قبول کرتا رہتا ہے:
(i) پیرامیٹر کھاتہ: ہر new parameter کو clearly register کیا جائے اور information criteria (AICc/BIC) کے ساتھ report کیا جائے؛
(ii) shared mapping: وہی RC-bin→GGL-bin group mapping استعمال ہوتی ہے، اور کسی single ڈیٹا مجموعہ کے لیے الگ mapping tune کرنے کی اجازت نہیں؛
(iii) بندش آزمائش: ہر enhancement کو RC→GGL transferable prediction میں real gain دکھانا چاہیے، صرف RC-only فٹ بہتر کرنا کافی نہیں۔

B.2 DM 7+1 + DM_STD: module definitions، parameters اور joint posterior میں entry

P1A ایک independent runpack کے طور پر 8 DM workspaces (DM 7+1) اور 1 EFT comparison point فراہم کرتا ہے: DM_RAZOR خطِ اساس پر تین legacy one-parameter enhancements (DM_RAZOR_SCAT / DM_RAZOR_AC / DM_RAZOR_FB) بنائے جاتے ہیں، پھر تین زیادہ standard defensive modules (DM_HIER_CMSCAT / DM_CORE1P / DM_RAZOR_M) شامل کیے جاتے ہیں، اور combined model DM_STD دیا جاتا ہے۔ ان modules کا common goal یہ ہے کہ dimension کو کم سے کم بڑھاتے ہوئے تین سب سے عام objections cover کیے جائیں: (a) c–M relation کا scatter اور prior hierarchical model میں کیسے داخل ہوتے ہیں؛ (b) کیا baryonic feedback کے main effect کو one-parameter core proxy سے represent کیا جا سکتا ہے؛ (c) کیا lensing-end key system error کو غلطی سے physical signal سمجھا جا سکتا ہے۔

clarification: اوپر کے parameter names engineering implementation کے مطابق ہیں (مثلاً σ_logc، α_AC، log r_core، m_shear)۔ P1A کا design focus یہ ہے کہ “DM خطِ اساس کو تھوڑا stronger بنایا جائے، مگر اسے auditable رکھا جائے”، نہ کہ DM side کو uncontrollable high-dimensional فٹter بنایا جائے۔ خاص طور پر DM_HIER_CMSCAT c–M scatter کو hierarchical طور پر introduce کرتا ہے: ہر halo کے concentration c_i کو c(M_i) کے گرد log-normal scatter کے طور پر set کیا جاتا ہے، اور global σ_logc اور c(M) prior اسے محدود کرتے ہیں؛ یہ hierarchical structure RC اور GGL کے joint posterior دونوں کو affect کرتا ہے۔

B.3 main text سے consistent statistical protocol اور output convention

P1A main text کے تمام data products، shared mapping اور audit framework کو reuse کرتا ہے۔ execution order اور output types برقرار رہتے ہیں:
(1) Run‑1: RC-only inference (posterior_samples.npz اور metrics.json output)؛
(2) Run‑2: RC→GGL بندش آزمائش (closure_summary.json اور permuted خطِ اساس output)؛
(3) Run‑3: RC+GGL joint فٹ (joint_summary.json output)۔
تمام quoted numbers automatic summary table (Tab_S1_P1A_scoreboard) سے آتے ہیں، اور P1A full_فٹ_runpack کو full workflow rerun کرنے کے بعد included reference-table comparison script سے verify کیا جا سکتا ہے۔

B.4 main results، table/figure entry اور archive plan (same DOI)

یہ section P1A کے core quantitative conclusions دیتا ہے۔ جدول B1 RC-only، RC→GGL closure اور RC+GGL joint فٹ کے key metrics summarize کرتا ہے (قوسین میں DM_RAZOR خطِ اساس کے مقابلے میں difference ہے)؛ closure strength کی definition ΔlogL_closure ≡ ⟨logL_true⟩ − ⟨logL_perm⟩ ہے (زیادہ بہتر)۔ شکل B1 اسی scoreboard کی visualization دیتی ہے۔ main points یہ ہیں:
• legacy تین branches میں صرف DM_RAZOR_FB (feedback/core) closure strength میں چھوٹا net improvement دیتا ہے: 122.21→129.45 (+7.25)؛ SCAT اور AC کوئی net improvement نہیں دیتے؛
• new DM_HIER_CMSCAT اور DM_RAZOR_M closure strength پر بہت چھوٹا اثر (~0) رکھتے ہیں، اور DM_CORE1P بھی significant net improvement نہیں دکھاتا؛
• combined model DM_STD joint logL کو significant طور پر improve کر سکتا ہے (joint-فٹ optimum کے قریب)، مگر closure strength الٹا کم ہو جاتی ہے، جو اشارہ ہے کہ improvement بنیادی طور پر joint-فٹ flexibility سے آتی ہے، cross-تحقیقی پیمانہ transferability سے نہیں؛
• EFT_BIN comparison point کے طور پر closure strength اور joint فٹ دونوں میں واضح advantage برقرار رکھتا ہے؛ اس لیے main-text conclusion “stronger DM خطِ اساس + lensing nuisance” introduce کرنے کے بعد بھی robust ہے۔

main comparison سے direct comparison آسان بنانے کے لیے، main text کے Tab S1a–S1b EFT family اور DM_RAZOR کی strict comparison summarize کرتے ہیں: EFT models joint فٹ میں DM_RAZOR کے مقابلے میں ΔlogL_total≈1155–1337 improve کرتے ہیں، اور بندش آزمائش میں ΔlogL_closure=172–281 تک پہنچتے ہیں۔ P1A صرف DM side پر “harder comparison” ہے؛ اس کا کام “strawman خطِ اساس / systematics-as-physics” جیسے اعتراضات کو کم کرنا ہے، main-text comparison کو replace کرنا نہیں۔

جدول B1 | P1A scoreboard (زیادہ بہتر؛ قوسین DM_RAZOR خطِ اساس کے مقابلے کا فرق دکھاتے ہیں)۔

شکل B1 | P1A scoreboard: closure اور joint ΔlogL relative to خطِ اساس (زیادہ بہتر)۔

اس appendix سے متعلق completed example run tags یہ ہیں (P1A intermediate products اور tables/figures locate کرنے کے لیے):
P1A run_tag = 20260213_151233؛ P1A closure_tag = 20260213_161731؛ P1A joint_tag = 20260213_195428۔

B.5 suggested citation method (Appendix citation note)

جب readers main-text conclusion کے علاوہ “DM خطِ اساس standardization stress test” cite کرنا چاہیں، تو main conclusion کے citation کے ساتھ یہ note شامل کرنا recommended ہے: ‘See Appendix B (P1A) for standardized DM خطِ اساس stress tests (legacy SCAT/AC/FB + hierarchical c–M scatter prior + core proxy + lensing shear-calibration nuisance), under the same closure protocol.’